Kas ir līdzskaņa?

Iepriekšējā piezīmē mēs uzzinājām, kā darbojas skaņa. Atkārtosim šo formulu:

SKAŅA = ZEMES TONIS + VISI VAIRĀKIE OVERTONI

Turklāt, tā kā japāņi apbrīno ķiršu ziedus, mēs apbrīnosim arī frekvences reakcijas grafiku – skaņas amplitūdas-frekvences raksturlielumu (1. att.):

Atcerieties, ka horizontālā ass apzīmē augstumu (svārstību frekvenci), bet vertikālā ass apzīmē skaļumu (amplitūdu).

Katra vertikālā līnija ir harmonika, pirmo harmoniku parasti sauc par fundamentālo. Harmonikas ir sakārtotas šādi: otrā harmonika ir 2 reizes augstāka par pamattoni, trešā ir trīs, ceturtā ir četri utt.

Īsuma labad, nevis “biežums nth harmonic" mēs vienkārši teiksim "nth harmonic”, un “pamatfrekvences” vietā – “skaņas frekvence”.

Tātad, aplūkojot frekvences reakciju, mums nebūs grūti atbildēt uz jautājumu, kas ir līdzskaņa.

Kā skaitīt līdz bezgalībai?

Līdzskaņa burtiski nozīmē “līdzskanēšana”, kopskaņa. Kā kopā var skanēt divas dažādas skaņas?

Zīmēsim tos vienā diagrammā vienu zem otra (2. att.):

Šeit ir atbilde: dažas harmonikas var sakrist frekvencē. Ir loģiski pieņemt, ka jo vairāk sakrīt frekvences, jo vairāk ir “parastākās” skaņas un līdz ar to arī lielāka saskaņa šāda intervāla skaņā. Lai būtu pilnīgi precīzi, ir svarīgi ne tikai atbilstošo harmoniku skaits, bet gan visu skanošo harmoniku sakritības proporcija, tas ir, saskaņošanas skaita attiecība pret kopējo skanošo harmoniku skaitu.

Mēs iegūstam vienkāršāko formulu līdzskaņas aprēķināšanai:

kur N_sovp ir atbilstošo harmoniku skaits,  N_kopīgs ir kopējais skanošo harmoniku skaits (dažādu skanēšanas frekvenču skaits), un mīnusi un ir mūsu vēlamā līdzskaņa. Lai būtu matemātiski pareizi, labāk nosaukt daudzumu frekvences līdzskaņas mērs.

Nu, lieta ir maza: jums ir jāaprēķina N_sovp и N_kopīgs, sadaliet vienu ar otru un iegūstiet vēlamo rezultātu.

Vienīgā problēma ir tā, ka gan kopējais harmoniku skaits, gan pat atbilstošo harmoniku skaits ir bezgalīgs.

Kas notiek, ja mēs sadalām bezgalību ar bezgalību?

Mainīsim iepriekšējās diagrammas mērogu, “attālināsimies” no tās (3. att.)

Mēs redzam, ka atbilstošās harmonikas rodas atkal un atkal. Attēls tiek atkārtots (4. att.).

Šis atkārtojums mums palīdzēs.

Pietiek, ja mēs aprēķinām attiecību (1) vienā no punktētajiem taisnstūriem (piemēram, pirmajā), tad atkārtojumu dēļ un visā rindā šī attiecība paliks nemainīga.

Vienkāršības labad pirmās (apakšējās) skaņas pamattoņa frekvence tiks uzskatīta par vienādu ar vienotību, un otrās skaņas pamattoņa frekvence tiks uzrakstīta kā nesamazināma daļa  .

Iekavās atzīmēsim, ka mūzikas sistēmās, kā likums, tiek izmantotas tieši skaņas, kuru frekvenču attiecība ir izteikta ar kādu daļskaitli.  . Piemēram, piektdaļas intervāls ir attiecība  , ceturtdaļas –  , tritons —   un tā joprojām

Aprēķināsim attiecību (1) pirmā taisnstūra iekšpusē (4. att.).

Ir diezgan viegli saskaitīt atbilstošo harmoniku skaitu. Formāli tās ir divas, viena pieder pie apakšējās skaņas, otrā – pie augšējās, 4. att. tās atzīmētas ar sarkanu. Bet abas šīs harmonikas skan vienā frekvencē, attiecīgi, ja saskaitām atbilstošo frekvenču skaitu, tad tāda frekvence būs tikai viena.

Kāds ir kopējais skaņas frekvenču skaits?

Strīdēsimies šādi.

Visas apakšējās skaņas harmonikas ir sakārtotas veselos skaitļos (1, 2, 3 utt.). Tiklīdz jebkura augšējās skaņas harmonika ir vesels skaitlis, tā sakritīs ar kādu no apakšējās skaņas harmonikām. Visas augšējās skaņas harmonikas ir pamata toņa daudzkārtņi , tātad frekvence n-harmonika būs vienāda ar:

tas ir, tas būs vesels skaitlis (jo m ir vesels skaitlis). Tas nozīmē, ka augšējai skaņai taisnstūrī ir harmonikas no pirmā (pamattonis) līdz n- Ak, tātad, skaņa n frekvences.

Tā kā visas apakšējās skaņas harmonikas atrodas veselos skaitļos un saskaņā ar (3), pirmā sakritība notiek frekvencē m, izrādās, ka apakšējā skaņa taisnstūra iekšpusē dos m skaņas frekvences.

Jāatzīmē, ka sakrīt biežums m mēs atkal skaitījām divas reizes: kad skaitījām augšējās skaņas frekvences un kad skaitījām apakšējās skaņas frekvences. Bet patiesībā biežums ir viens, un, lai iegūtu pareizo atbildi, mums būs jāatņem viena “papildu” frekvence.

Visu skaņu frekvenču kopsumma taisnstūrī būs:

Formulā (2) aizstājot (4) un (1), mēs iegūstam vienkāršu izteiksmi līdzskaņas aprēķināšanai:

Lai uzsvērtu aprēķināto skaņu saskaņu, varat norādīt šīs skaņas iekavās mīnusi:

Izmantojot tik vienkāršu formulu, jūs varat aprēķināt jebkura intervāla līdzskaņu.

Un tagad aplūkosim dažas frekvences līdzskaņas īpašības un tās aprēķināšanas piemērus.

Īpašības un piemēri

Vispirms aprēķināsim līdzskaņas vienkāršākajiem intervāliem un pārliecināsimies, ka formula (6) “darbojas”.

Kurš intervāls ir vienkāršākais?

Noteikti prima. Divas notis skan unisonā. Diagrammā tas izskatīsies šādi:

Mēs redzam, ka pilnīgi visas skaņas frekvences sakrīt. Tāpēc līdzskaņai jābūt vienādai ar:

Tagad unisonu aizstājam ar attiecību  formulā (6), mēs iegūstam:

Aprēķins sakrīt ar “intuitīvo” atbildi, kas ir sagaidāma.

Ņemsim citu piemēru, kurā intuitīvā atbilde ir tikpat acīmredzama – oktāva.

Oktāvā augšējā skaņa ir 2 reizes augstāka nekā apakšējā (atbilstoši pamata toņa frekvencei), attiecīgi grafikā tas izskatīsies šādi:

No grafika var redzēt, ka katra otrā harmonika sakrīt, un intuitīvā atbilde ir: līdzskaņa ir 50%.

Aprēķināsim to pēc formulas (6):

Un atkal aprēķinātā vērtība ir vienāda ar “intuitīvo”.

Ja ņemam noti kā apakšējo skaņu uz un uzzīmējiet līdzskaņas vērtību visiem intervāliem oktāvā grafikā (vienkārši intervāli), mēs iegūstam šādu attēlu:

Augstākie līdzskaņas rādītāji ir oktāvā, piektajā un ceturtajā. Viņi vēsturiski atsaucās uz "perfektām" līdzskaņām. Mazā un lielākā terta, kā arī mazā un lielākā sestā ir nedaudz zemākas, šie intervāli tiek uzskatīti par “nepilnīgām” līdzskaņām. Pārējiem intervāliem ir zemāka līdzskaņas pakāpe, tradicionāli tie pieder pie disonanšu grupas.

Tagad mēs uzskaitām dažas frekvences līdzskaņas mēra īpašības, kas izriet no tā aprēķina formulas:

1. Jo sarežģītāka attiecība  (jo vairāk numuru m и n), jo mazāk līdzskaņu ir intervāls.

И m и n formulā (6) atrodas saucējā, tāpēc, šiem skaitļiem palielinoties, līdzskaņas mērs samazinās.

2. Intervāla augšupejošā līdzskaņa ir vienāda ar intervāla lejupejošo līdzskaņu.

Lai iegūtu lejupejošu, nevis augšupvērsto intervālu, mums ir vajadzīga attiecība   mainīt m и n. Bet formulā (6) no šādas aizstāšanas pilnīgi nekas nemainīsies.

3. Intervāla frekvences līdzskaņas mērs nav atkarīgs no tā, no kuras nots mēs to veidojam.

Ja pārvietojat abas notis par vienu un to pašu intervālu uz augšu vai uz leju (piemēram, veidojiet kvints, nevis no nots uz, bet no piezīmes re), tad attiecība  starp notīm nemainīsies, un līdz ar to frekvences līdzskaņas mērs paliks tāds pats.

Mēs varētu dot citas līdzskaņas īpašības, bet pagaidām aprobežosimies ar tām.

Fizika un lirika

7. attēls sniedz priekšstatu par to, kā darbojas līdzskaņa. Bet vai tā mēs patiešām uztveram intervālu saskaņu? Vai ir cilvēki, kuriem nepatīk perfektas līdzskaņas, bet visdisonējošākās harmonijas šķiet patīkamas?

Jā, tādi cilvēki noteikti pastāv. Un, lai to izskaidrotu, ir jānošķir divi jēdzieni: fiziskā līdzskaņa и uztvertā līdzskaņa.

Viss, ko mēs esam apsvēruši šajā rakstā, ir saistīti ar fizisko līdzskaņu. Lai to aprēķinātu, jums jāzina, kā skaņa darbojas un kā tiek summētas dažādas vibrācijas. Fiziskā līdzskaņa nodrošina priekšnoteikumus uztvertai līdzskaņai, bet nenosaka to 100%.

Uztverto līdzskaņu nosaka ļoti vienkārši. Cilvēkam tiek jautāts, vai viņam patīk šī līdzskaņa. Ja jā, tad viņam tā ir līdzskaņa; ja nē, tā ir disonanse. Ja viņam salīdzināšanai ir doti divi intervāli, tad varam teikt, ka viens no tiem šobrīd cilvēkam šķitīs līdzskaņāks, otrs mazāk.

Vai var aprēķināt uztverto līdzskaņu? Pat ja pieņemsim, ka tas ir iespējams, tad šis aprēķins būs katastrofāli sarežģīts, tajā tiks iekļauta vēl viena bezgalība – cilvēka bezgalība: viņa pieredze, dzirdes īpašības un smadzeņu spējas. Ar šo bezgalību nav tik viegli tikt galā.

Tomēr pētījumi šajā jomā turpinās. Jo īpaši komponists Ivans Sošinskis, kurš laipni nodrošina audio materiālus šīm notīm, ir izstrādājis programmu, ar kuras palīdzību var izveidot individuālu līdzskaņu uztveres karti katram cilvēkam. Šobrīd tiek izstrādāta vietne mu-theory.info, kurā ikviens var tikt pārbaudīts un uzzināt savas dzirdes īpatnības.

Un tomēr, ja ir uztverta līdzskaņa un tā atšķiras no fiziskās, kāda jēga ir aprēķināt pēdējo? Mēs varam pārformulēt šo jautājumu konstruktīvāk: kā šie divi jēdzieni ir saistīti?

Pētījumi liecina, ka korelācija starp vidējo uztverto līdzskaņu un fizisko līdzskaņu ir aptuveni 80%. Tas nozīmē, ka katram cilvēkam var būt savas individuālās īpašības, bet skaņas fizika sniedz milzīgu ieguldījumu līdzskaņas definīcijā.

Protams, zinātniskie pētījumi šajā jomā vēl ir pašā sākumā. Un kā skaņas struktūru ņēmām salīdzinoši vienkāršu vairāku harmoniku modeli, un līdzskaņas aprēķinos tika izmantots visvienkāršākais – frekvence, un netika ņemtas vērā smadzeņu darbības īpatnības skaņas signāla apstrādē. Taču fakts, ka pat šādu vienkāršojumu ietvaros ir iegūta ļoti augsta korelācijas pakāpe starp teoriju un eksperimentu, ir ļoti iepriecinoši un rosina turpmākus pētījumus.

Zinātniskās metodes pielietojums mūzikas harmonijas jomā neaprobežojas tikai ar līdzskaņu aprēķināšanu, tā dod arī interesantākus rezultātus.

Piemēram, ar zinātniskās metodes palīdzību muzikālo harmoniju var attēlot grafiski, vizualizēt. Par to, kā to izdarīt, mēs runāsim nākamreiz.

Autors – Romāns Oļeiņikovs